5. Théorème de la limite centrale et test du c²

On a défini dans l’exercice 12 du chapitre 4 une variable aléatoire X dont la densité est donnée par la fonction :

pour tout x Î [-1, 1]	f(x) = 3 x^2 / 2
pour tout x Ï [-1, 1]	f(x) = 0

On a calculé les probabilités ci-dessous :

P(XÎ[-1, -3/4] ) = 0.2890625	P(XÎ[-3/4, -1/2] ) = 0.1484375
P(XÎ[-1/2, -1/4] ) = 0.0546875	P(XÎ[-1/4, 0] ) = 0.0078125

1) On donne ci-dessous l’histogramme et la représentation graphique de la densité théorique :

La proximité entre l'histogramme et la courbe paraît satisfaisante. On notera que la densité théorique est très différente de la loi normale.

2) Le test du c² permet de contrôler cette proximité. Pour que les conditions de convergence soient satisfaites, on regroupe les classes entre – 0.5 et 0.5. Le tableau de calcul est alors donné ci-dessous :

Classes	Effectifs observés ni	Effectifs théoriques ni’	Contributions (ni’ – ni’ )^2 / ni’
[-1.00, -0.75 [	66	57.8125	1.160
[-0.75, -0.50 [	28	29.6875	0.096
[-0.50, 0.50 [	22	25.0000	0.360
[ 0.50 , 0.75 [	36	29.6875	1.342
[0.75 ,1.00[	54	57.8125	0.251

La valeur x² de la statistique X² est égale à la somme des termes de la dernière colonne :

x² = 4.54

Le nombre de paramètres estimés est égal à 0 et donc le degré de liberté à quatre.

n = 4

La valeur limite donnée par la table pour n = 4 et a = 0.05 est :

x² = 9.49

On accepte donc l’hypothèse H₀ : l’échantillon peut être considéré comme des observations d’une v.a. X de densité f(x) définie précédemment.

3) Les échantillon E_1, E_2, E_{3, …, ,} E₁₀₀ ont été créés de façon à respecter la loi de la v.a. X. En appliquant le test précédent, on va rejeter l’hypothèse nulle dans 5% des cas, par définition du risque de première espèce. Le nombre B d’échantillons pour lesquels on rejette H₀ suit la loi binomiale B(200, 0.05). On peut déduire de cette loi l’intervalle symétrique en probabilité dans lequel se trouvera ce nombre B avec une probabilité de 95%. On notera immédiatement qu’il ne s’agit pas d’un intervalle de confiance, mais de l’interalle vérifiant :

P (b₁ < B < b₂ ) = 0.95

On utilise pour faire le calcul l’approximation de la loi binomiale B(200, 0.05) par la loi normale d’espérance m = n p = 10 et de variance s² = n p (1 – p) = 9.5 et d’écart-type s = 3.0822.

P[ - 1.96 < ( B – 10 ) / 3.0822 < 1.96 ] = 0.95

L’intervalle obtenue est donc :

[ 3.959 , 16,041]

On peut donc arrondir à l’intervalle de bornes entières :

[ 4, 16]

4) On considère l’estimateur empirique M de la moyenne m de la v.a. X. La moyenne et la variance théoriques de X ont été calculées dans l’exercice 12 du chapitre 4 :

m = 0

s^2 = 0.6

On donne ci-dessous l’histogramme des 100 moyennes calculées chacune sur un échantillon de taille 200 :

L’estimateur empirique M a pour moyenne théorique m = 0 et variance s² / n = 0.003. On peut effectuer un test du c² pour savoir si la v.a. M suit approximativement la loi normale de moyenne m = 0 et d’écart-type s = 0.05477.

Classes		Effectifs observés ni	Effectifs théoriques ni’	Contributions (ni’ – ni’ )^2 / ni’
[-0.1171 , -0.0610 [	13		11.644	0.158
[-0.0610 , -0.0049 [	32		33.166	0.041
[-0.0049 , 0.0512 [	33		36.070	0.261
[0.0512 , 0.1073 [	17		14.989	0.270
[0.1073 , 0.1633 [	5		2.362	2.946

Répartition des moyennes en 5 classes de même longueur

La somme des contributions donne la valeur x² :

x² = 3.667

La valeur limite donnée par la table pour n = 4 et a = 0.05 est la même que précédemment :

x² = 9.49

On accepte donc l’hypothèse d’une loi normale. Cette conclusion ne permet pas de considérer qu’un échantillon de taille 200 est suffisant pour que la loi de M soit approximativement la loi normale. Nous laissons le lecteur recommencer le calcul avec 100 échantillons de X de taille 10, dont l’histogramme en 5 classes de même amplitude est donné ci-dessous :

La démarche suivie, ne prouvant pas l’hypothèse nulle, ne pourrait éventuellement montrer que le contraire, qu’elle est insuffisante. C’est le cas de la v.a. S² dont la loi est très différente de la loi du c², même pour des échantillons d’effectif élevé. L’histogramme ci-dessous compare la répartition de 100 valeurs s² calculées chacune sur un échantillon de taille 200 à la loi du c² correspondante : la différence est évidente.